【摘要】本文介紹了非線性振型疊加法的研究成果，并建議采用指定阻尼比和振型疊加法相結合的方法處理橋梁結構的阻尼以及橋梁局部非線性地震反應分析的問題。
關鍵詞 局部非線性 阻尼 振型疊加法


一、引言
近幾十年來，為促進經濟的持續發展，我國政府投入巨資修建交通基礎設施，橋梁建設突飛猛進，相繼建成了一批大跨斜拉橋、懸索橋等重要工程。同時，據專家預測，我國已進入一個新的地震活躍期。本世紀幾次慘重的地震災害給了我們深刻的教訓：對這些重大建設工程，必須進行結構的地震反應分析，以評估結構的地震作用下的安全程度。
目前，地震反應分析主要有反應譜分析方法和動態時程分析方法兩種方法，對于大跨、復雜的橋梁一般以動態時程分析方法為主。動態時程分析方法按照不同的解方程思路分為振型疊加法和直接積分法兩種。無論采用哪種計算方法，都涉及到三個物理參數的確定，即結構的質量測度和阻尼。質量和剛度已經有了很成熟的計算方法，結果也較穩定、可靠，但阻尼的計算則是一個比較復雜的迄今為止未得到很好解決的問題。橋梁結構中不同材料的構件具有不同的阻尼，大量減隔震裝置的使用再增添了阻尼的多樣化和復雜性。由于阻尼參數確定的不同，常導致結構反應的計算結果有顯著的差異，有時甚至是幾倍甚至是數量級上的差別。因此如何處理阻尼問題是正確求解大跨、復雜橋梁結構地震反應的關鍵問題之一。
根據已發生歷次地震的橋梁震害記錄，我們發現震害區斜拉橋、懸索橋等大跨橋梁基本上未出現破壞，筆者所知的只有臺灣"9.21大地震"震中區域一未完工的獨塔斜拉橋主塔塔柱與橫梁交界處出現破裂，但這次地震很特殊，震源非常淺，加速度達到蛇，像這樣大的地震如何設防目前還處在研究階段。此外，根據同濟大學土木防災重點實驗室所做的幾十座國內大跨橋的抗震分析，發現大跨斜拉橋、懸索橋的抗震薄弱環節是邊墩、輔助墩等部位，這些部位在地震作用下有可能進入彈塑性階段，而主塔、主梁等部位基本上處于彈性階段。因此，我們把這種在地震荷載作用下，主體部位基本處在彈性階段，局部進入彈塑性階段的情況稱之為局部非線性的地震反應。
對于非線性問題的時程計算，我們一般不采用振型疊加法。這是因為當結構處在非線性階段時，其剛度矩陣隨時間不斷變化，這就需要我們不斷地計算剛度矩陣和求特征向量，尤其是求特征向量將會耗去大量的機時，極不經濟。然而，振型疊加法也有其優點，它可以將運動方程化為振型坐標系中一組單自由度運動方程來求解，并且不必列出結構所有自由度的卑自由度方程，而只列出對結構反應起主要作用的前若干階單自由度方程進行求解，這種把結構總反應看作是若干個振型反應的疊加有助于人們對地震反應實質的理解。對于局部非線性問題，結構剛度矩陣只有某些位置的元素發生變化，而大部分位置的元素并未發生變化。因此如果我們能夠通過某種計算技巧，利用振型疊加法求結構的時程反應，并避免剛度矩陣的重新求特征值，從而解出非線性運動方程，此時振型疊加法就不失為一種比較好的計算方法。
本文試圖在研究阻尼選取問題的基礎上，介紹非線性振型疊加法一些已有的研究成果，希望對抗震研究者求解橋梁局部非線性問題有所幫助。


二、阻尼問題
1．阻尼模型
結構阻尼是對振動結構所耗散的能量的測量，通常用振動一次的能量耗散率來表示結構阻尼的強弱。近幾十年來，人們提出了多種阻尼理論假設，在眾多的阻尼理論假設中，用得較多的是兩種線性阻尼理論：粘滯阻尼理論和復阻尼理論（滯變阻尼理論）。
復阻尼理論認為結構具有復剛度，在考慮阻尼時在彈性模量或剛度系數項前乘以復常數 即可，v為復阻尼系數。復阻尼理論對于一般的結構動力響應來說，計算過程非常復雜，因此，在動力響應分析中，復阻尼理論應用不多，本文限于篇幅，也就不再展開了。
粘滯阻尼理論假定阻尼力與運動速度成正比，通常是用不同頻率的阻尼比ζ來表征系統的阻尼：


粘滯阻尼理論最顯著的特點在于其阻尼力是直接根據與相對速度成正比的關系給出的，不論是簡諧振動或是非簡諧振動，都可直接寫出系統的運動方程，而且均為線性微分方程，給理論分析帶來了很大的方便。
在多自由度系統中采用等效粘滯模態阻尼，阻尼力向量的表達式為


若［C」可以通過模態向量正交化為對角矩陣時，則稱為正交阻尼或比例阻尼。反之，則稱之為非正交阻尼。正交阻尼原則上適用于阻尼特性分布比較均勻的工程結構，但由于其使用方便，分析人員對大部分橋梁都傾向于使用正交阻尼，非正交阻尼因為計算較為麻煩用得較少。
Rayleigh阻尼模型是廣泛采用的一種正交阻尼模型，其數學表達式如下：
C＝a0M＋a1K （2）
式中， a0和a1稱為Rayleigh阻尼常數。
在Rayleigh阻尼模型下，各階阻尼比可表示為

式中ζi稱為第i階振型的模態阻尼比，因此若已知任意兩階振型的阻尼比ζi和ζj，則可定出阻尼常數

確定了a0和al之后，即可確定出各階振型的模態阻尼比，并確定阻尼矩陣。
2．實際抗震分析中由于阻尼選取不同所產生的問題
目前，橋梁地震反應分析一般以直接積分的時程分析方法為主。其阻尼模型取Rayleigh阻尼模型，并以主塔或主梁的兩個較低階振型頻率ωi和ωj對應的阻尼比作為ζi和ζj，接式（3）和式(4) 求出其余各階頻率的阻尼比，并求出阻尼矩陣代人動力方程，用直接積分的方法求解動力方程。這樣處理阻尼雖然非常簡單，但也產生了以下兩個不可忽視的問題：
（1）如前所述，Rayleigh阻尼作為一種正交阻尼，適用于阻尼特性分布非常均勻的工程結構。但是大跨橋梁一般來說都不能算作非常均勻的結構。例如，為了提高橋梁的跨越能力，主梁一般采用鋼箱梁或鋼混疊合梁，而主塔和邊墩則采用鋼筋混凝土材料，兩者的阻尼特性相差比較大。即使主梁材料特性與主塔差不多，大跨橋梁由于抗風和抗震的要求，經常會在橋梁結構的某些部位加有人工阻尼裝置，比如橋墩上安放高阻尼的抗震支座、橋塔上安放控制振動的裝置TMD等，這都會產生摩擦阻尼或集中阻尼從而造成阻尼特性的不均勻分布。這樣的阻尼均勻性前提得不到滿足的情況下，仍按照 Rayleigh阻尼模型去計算各階振型對應的阻尼比勢必會造成除ωi和ωj兩階之外其他各階振型阻尼比與真實值有或多或少的差別。
（2）根據同濟大學土木防災國家重點實驗室對國內幾十座大跨橋梁進行抗震分析后總結的經驗，邊墩。輔助墩等部位是大跨橋梁抗震設施的重點。但是采用Rayleigh阻尼模型時，用于計算其他各階振型阻尼比的ωi和ωj一般取的是較低階的振型，而邊墩輔助墩的振動一般都發生在高階振型。根據Rayleigh阻尼模型圖，可以看出離ωi和ωj越遠的振型，其阻尼比就越不準，而且隨著圖上阻尼比按頻率增加的速度越來越快，邊墩部分振動頻率對應的阻尼比比實際值往往偏大，從這一點講會導致邊墩部分反應的計算結果偏于不安全。

一些橋梁抗震研究人員已經注意到了以上兩個問題，他們采取的措施是根據分析的部位不斷變換所選擇的ωi和ωj，比如計算橋塔的縱向地震反應時就選擇對橋塔的縱向反應起主要作用的兩階頻率作為ωi和ωj，來計算其它各階阻尼比，計算其它地震反應時也依此類推。這樣就需要分析人員不斷的重復選擇。和約和進行時程計算，十分繁瑣。
3．解決方法
由以上論述，我們已經了解到阻尼是一個非常復雜的問題，僅僅依靠Rayleigh阻尼模型，會對大跨橋梁尤其是邊墩輔助墩等部位的地震反應分析出現不應有的誤差。因此，我們嘗試尋找一種既不過分繁瑣又比較準確的方法。
在前面的論述中，我們發現阻尼比是反應阻尼的一個方便而有效的量，它把阻尼特性和振型頻率聯系起來，使得動力方程分析起來更為簡單，而且阻尼比可以通過橋梁實測測出。
如果我們直接指定對橋塔。主梁、邊墩等重要部位反應起主要作用的一些振型頻率的阻尼比，而對其余各階振型頻率的阻尼比采用線性內插的方法確定，這樣做也可以形成阻尼比矩陣。由于我們通過以前的工程實例發現結構各部位的反應來說少數幾階振型的貢獻最為顯著（這些振型的貢獻占到70％～ 80％，甚至更多），因此，這樣做能夠保證計算的正確性，而且并不繁瑣，此對，以實測試驗數據作為基礎，更增加了其準確性。同濟大學橋梁系近十幾年來，通過為國內幾十座大型橋梁進行竣工檢測、成橋檢測積累了大量的阻尼實測資料，并有研究人員準備把這些阻尼資料整理形成橋梁阻尼數據庫。有了這些數據資料為基礎，通過指定主要振型頻率阻尼比，來計算結構動力反應是行得通的，并且結合下面的振型疊加法，會使計算更加簡便。

三、非線性問題的振型疊加法
1．線性問題的振型疊加法
振型疊加法是利用多自由度系統的固有頻率和振型的特性，將結構動力響應分解為各個振型分量，對各個振型分量分別求解后疊加得到實際的響應。它假定阻尼滿足Rayleigh阻尼模型，利用正交變換將線性動力分析中多自由度體系相互耦合的N個方程

轉換成為N個不耦合的單自由度方程



這些單自由度運動方程可以通過杜哈美積分的數值算法解出。所以，總反應為

其中，[Φ]為 N×N的振型向量矩陣。
如果對結構反應起主要作用的是較低的P階振型，那我們就可以只計算較低的P階單自由度方程，根據計算機數值計算的特點并考慮截去的高階振型的影響后，最后實用的計算式為[2]

或
其中［Kp」--對應于P個特征向量的結構剛度矩陣：

{Fp(t)}--對應于P個特征向量的荷載向量
2．非線性問題的振型疊加法
非線性振型疊加法是我們著重要討論的問題。在線性問題的振型疊加法中，因為剛度矩陣不隨時間變化，所以只需要時程計算的開始進行一次求特征向量的計算，以后就利用求出的這組特征向量通過選代算法求解結構各個時刻的反應。而在非線性問題中，結構的剛度矩陣是隨時間不斷變化的，這就需要在整個時程分析過程中不斷地計算剛度矩陣并求解特征向量。求矩陣的特征向量是非常耗費機時的計算，因而這樣運用振型疊加法將會耗費大量的機時，極不經濟。但是如果我們能夠避開多次求解特征向量，而只在計算的開始求一次，然后利用某種計算技巧，求出各時刻的反應，這樣，振型疊加法對求解非線性問題特別是對大跨橋梁地震反應這種剛度矩陣在整個時間過程中只是部分元素發生變化而大部分元素不變的局部非線性問題還是有應用價值的。下面本文以材料非線性問題為例來說明這種分析方法的過程［1］
受地震加速度作用的非線性體系的運動方程為


為便于迭代求解，將上式進行轉化，得到

其中，[k]為0時刻結構對應的剛度矩陣。{R(u(t))}是當考慮材料非線性時與材料為彈性所產生的恢復力的差。
與線性問題的振型疊加法類似，將相互耦合的N×N動力方程化為在正規坐標系下的N個單自由度方程：

則單自由度運動方程變為

其中
上面的方程根據Nau的研究成果[3]，解可寫為

其中，[A]和[B]兩矩陣的計算方法可從文獻「3」查得。
我們只需求解對結構反應起主要影響的較低的P階單自由度方程，在考慮截去的高階振型的影響后，結構總的反應可表示為

其中
Fr(t,u)為廣義力：
式（20）～（22）即為結構t時刻總反應的計算式，該式中{R}與待求量結構變形u(t)有關，


S狀態代表t時刻， s＋l狀態代表 t十Δt時刻。因此，求解過程需進行選代。具體迭代算法如下面所示。
3．計算步驟
（l）設置初始條件：


(5)根據結構位移向量計算該時刻結構單元應力。

(7)重復以上步驟，計算下一個時刻的位移向量{u}（返回第（4）步）。
根據文獻[1]的研究結果，使用非線性疊加法的程序與DRAIN2d程序的直接積分法分析同樣的平面框架的地震反應，在誤差為6％的情況下，后者所花時間平均為前者的兩倍。


四、結語
本文介紹了阻尼和非線性振型疊加法兩個方面，目的是針對大跨橋梁局部非線性問題探索一種簡單前效名用的地震反應計算方法。振型疊加法用于結構局部非線性地震反應計算還不很成熟，還有一些具體問題，比如阻尼數據編輯整理、迭代方法的穩定性研究、編制應的分析程序并與直接積分法程序比較計算效果等有待于進一步地探索和解決。


參考文獻
[1] Melod Michel hanna, "An Efficient Mode Superposition method for the Numerical Dynamic Analysis of Bilinear Systems",Dissertation of Ph. D, University of California, Irvine, 1989
[2] Wildson, E, L., and Leger, P., "Modal Summation methods for Structural Dynamic computations," Earthquake Engineering and Structral Dynamics, Vol. 16, 23 ~ 27, 1988
[3] Nau, J. M., "Computation of Inelastic Response Spectra," J. Of Engineering mechanics, ASCE, Vol.109, No. l, 279~ 288, Feb., 1983